big-o - 证明 Big-O a^n 中的任何 a > b >0, b^n

Question

证明对于任何实数 a, b 使得 a > b > 0, b^n 是 O(a^n), n >=1。

我已经搜索了我拥有的几本关于离散数学的教科书以及几个在线搜索，以查找与此证明相关的任何相似示例或定理。我不是在寻找直接的解决方案，而是可能被展示了解决证明的正确方法或范式。

Answer 1

如果你的意思是

Prove that for any real numbers, a, b such that a > b > 0, b^n is O(a^n)

然后，考虑定义O(a^n)

来自维基，

1) For f(x), g(x) defined on a subset of reals
2) if there exists some positive **constant** M and real number x_0, such that
3) if ABS(f(x)) <= M * ABS(g(x)) for all x > x_0

在这种情况下f(x) = b^x和g(x) = a^x。我将把这个问题当作一个家庭作业问题来对待，即使它没有被标记为一个......如果我错了，请纠正我！

考虑将函数插入步骤（尤其是步骤 3），看看您是否能找出任何x_0, M 对，它是正确的。祝你好运！

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编辑 我改变了f(x) = b^n和g(x) = a^nf(x) = b^xg(x) = a^x

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编辑 - 提示

步骤 3) 可以解释为：

ABS(f(x)) / ABS(g(x)) <= M for all x > x_0

选择你最喜欢的常数M，然后看看你是否能找到一些x_0有效的for all x。