我已经实现了一个基于截断泰勒级数的Padé 近似的近似自然对数函数。准确度是可以接受的（±0.000025），但是尽管经过了几轮优化，它的执行时间仍然是标准库ln函数的2.5倍左右！如果它不更快并且不那么准确，那将毫无价值！尽管如此，我还是用它来学习如何优化我的 Rust 代码。（我的时间来自使用criterion板条箱。我使用了黑盒，对循环中的值求和，并从结果中创建了一个字符串来击败优化器。）
在 Rust Playground 上，我的代码是：
算法
我的算法概述，它适用于无符号整数的比率：
- 通过除以不超过值的 2 的最大幂，将范围缩小到区间 [1, 2]：
- 改变分子的表示 →
2ⁿ·N where 1 ≤ N ≤ 2 - 改变分母的表示 →
2ᵈ·D where 1 ≤ D ≤ 2
- 改变分子的表示 →
- 这使得结果
log(numerator/denominator) = log(2ⁿ·N / 2ᵈ·D) = (n-d)·log(2) + log(N) - log(D) - 为了执行 log(N)，泰勒级数不会在零附近收敛，但会在 1 附近收敛……
- ...因为 N 接近 1，替换 x = N - 1 以便我们现在需要计算 log(1 + x)
- 执行替换
y = x/(2+x) - 考虑相关函数
f(y) = Log((1+y)/(1-y))= Log((1 + x/(2+x)) / (1 - x/(2+x)))= Log( (2+2x) / 2)= Log(1 + x)
- f(y) 有一个泰勒展开式，它的收敛速度必须快于 Log(1+x) 的展开式......
- 对于 Log(1+x) →
x - x²/2 + x³/3 - y⁴/4 + ... - 对于 Log((1+y)/(1-y)) →
y + y³/3 + y⁵/5 + ...
- 对于 Log(1+x) →
- 对截断序列使用 Padé 近似
y + y³/3 + y⁵/5 ... - ...这是
2y·(15 - 4y²)/(15 - 9y²) - 重复分母并合并结果。
Padé 逼近
这是代码的 Padé Approximation 部分：
/// Approximate the natural logarithm of one plus a number in the range (0..1).
///
/// Use a Padé Approximation for the truncated Taylor series for Log((1+y)/(1-y)).
///
/// - x - must be a value between zero and one, inclusive.
#[inline]
fn log_1_plus_x(x : f64) -> f64 {
// This is private and its caller already checks for negatives, so no need to check again here.
// Also, though ln(1 + 0) == 0 is an easy case, it is not so much more likely to be the argument
// than other values, so no need for a special test.
let y = x / (2.0 + x);
let y_squared = y * y;
// Original Formula is this: 2y·(15 - 4y²)/(15 - 9y²)
// 2.0 * y * (15.0 - 4.0 * y_squared) / (15.0 - 9.0 * y_squared)
// Reduce multiplications: (8/9)y·(3.75 - y²)/((5/3) - y²)
0.8888888888888889 * y * (3.75 - y_squared) / (1.6666666666666667 - y_squared)
}
显然，没有太多可以加快速度了！
最高有效位
到目前为止，影响最大的变化是优化我的计算，以获得最高位的位置。我需要它来缩小范围。
这是我的msb功能：
/// Provide `msb` method for numeric types to obtain the zero-based
/// position of the most significant bit set.
///
/// Algorithms used based on this article:
/// https://prismoskills.appspot.com/lessons/Bitwise_Operators/Find_position_of_MSB.jsp
pub trait MostSignificantBit {
/// Get the zero-based position of the most significant bit of an integer type.
/// If the number is zero, return zero.
///
/// ## Examples:
///
/// ```
/// use clusterphobia::clustering::msb::MostSignificantBit;
///
/// assert!(0_u64.msb() == 0);
/// assert!(1_u64.msb() == 0);
/// assert!(2_u64.msb() == 1);
/// assert!(3_u64.msb() == 1);
/// assert!(4_u64.msb() == 2);
/// assert!(255_u64.msb() == 7);
/// assert!(1023_u64.msb() == 9);
/// ```
fn msb(self) -> usize;
}
#[inline]
/// Return whether floor(log2(x))!=floor(log2(y))
/// with zero for false and 1 for true, because this came from C!
fn ld_neq(x : u64, y : u64) -> u64 {
let neq = (x^y) > (x&y);
if neq { 1 } else { 0 }
}
impl MostSignificantBit for u64 {
#[inline]
fn msb(self) -> usize {
/*
// SLOWER CODE THAT I REPLACED:
// Bisection guarantees performance of O(Log B) where B is number of bits in integer.
let mut high = 63_usize;
let mut low = 0_usize;
while (high - low) > 1
{
let mid = (high+low)/2;
let mask_high = (1 << high) - (1 << mid);
if (mask_high & self) != 0 { low = mid; }
else { high = mid; }
}
low
*/
// This algorithm found on pg 16 of "Matters Computational" at https://www.jjj.de/fxt/fxtbook.pdf
// It avoids most if-branches and has no looping.
// Using this instead of Bisection and looping shaved off 1/3 of the time.
const MU0 : u64 = 0x5555555555555555; // MU0 == ((-1UL)/3UL) == ...01010101_2
const MU1 : u64 = 0x3333333333333333; // MU1 == ((-1UL)/5UL) == ...00110011_2
const MU2 : u64 = 0x0f0f0f0f0f0f0f0f; // MU2 == ((-1UL)/17UL) == ...00001111_2
const MU3 : u64 = 0x00ff00ff00ff00ff; // MU3 == ((-1UL)/257UL) == (8 ones)
const MU4 : u64 = 0x0000ffff0000ffff; // MU4 == ((-1UL)/65537UL) == (16 ones)
const MU5 : u64 = 0x00000000ffffffff; // MU5 == ((-1UL)/4294967297UL) == (32 ones)
let r : u64 = ld_neq(self, self & MU0)
+ (ld_neq(self, self & MU1) << 1)
+ (ld_neq(self, self & MU2) << 2)
+ (ld_neq(self, self & MU3) << 3)
+ (ld_neq(self, self & MU4) << 4)
+ (ld_neq(self, self & MU5) << 5);
r as usize
}
}
Rust u64::next_power_of_two，不安全的代码和内在函数
现在我知道 Rust 有一种快速的方法来找到大于或等于一个数字的 2 的最低幂。我需要这个，但我也需要位位置，因为这相当于我的数字的对数基数 2。（例如：next_power_of_two(255) 产生 256，但我想要 8，因为它设置了第 8 位。）查看源代码next_power_of_two，我在一个名为的私有辅助方法中看到这一行fn one_less_than_next_power_of_two：
let z = unsafe { intrinsics::ctlz_nonzero(p) };
那么是否有一个内在函数可以用来以相同的方式获得位位置？它是否用于我可以访问的公共方法中？或者有没有办法编写不安全的代码来调用一些我不知道的内在代码（其中大部分）？
如果有这样的方法或内在我可以调用，我怀疑这会大大加快我的程序，但也许还有其他的东西也会有所帮助。
更新：
打头！我可以用它63 - x.leading_zeros()来找到最高位的位置！我只是没想到从另一端过来。我会试试这个，看看它是否会加快速度......