我有一条定义为P(t) = [x(t), y(t), z(t)]的 3D 参数曲线。
我正在寻找一个函数来根据弧长重新参数化这条曲线。我正在使用 OpenSCAD，它是一种没有变量（仅限常量）的声明性语言，因此解决方案需要递归工作（并且除了全局常量和函数参数之外没有变量）。
更准确地说，我需要编写一个函数Q(s)，它给出P上的点，即从t=0点沿弧线的（大约）距离s。我已经有可以合并到答案中的数值积分和推导函数。
任何建议将不胜感激！
ps 在 OpenSCAD 中不能将函数作为参数传递，我通常只使用全局声明来解决这个问题。
sigma参数值之间t=0的弧长t=T可以通过求解以下积分来计算：
sigma(T) = Integral[ sqrt[ x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2 ],{t,0,T}]
如果你想用弧长参数化你的曲线，你必须反转这个公式。不幸的是，从数学的角度来看，这是相当困难的。最简单的方法是实现一个简单的二分法作为数值求解器。计算方法很快变得繁重，因此重用以前的结果是理想的。割线法也很有用，因为 的导数sigma(t)已知且等于
sigma'(t) = sqrt[ x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2]
也许不是最有帮助的答案，但我希望它能给你一些想法。我无法帮助您实现 OpenSCad。