math - 为 b 求解 'a = b ln [ max (11, b) ]'

Question

鉴于：

a = b ln [ max (11, b) ]

如果a已知，如何计算b？（我需要使用迭代逼近方法吗？）

Answer 1

如果a / ln(11) <= 11，那么这是您的解决方案，您不需要任何迭代。否则b * ln(b) - a = 0，例如使用 Newton-Raphson 求解。

Answer 2

这是您的函数图，其中我们有 x 和 y 而不是 b 和 a。

请注意，点 (11, 11 ln(11)) 处有一个“角”。这是因为您的函数可以重写为：

a = b ln 11 if b <= 11
    b ln b  if b > 11

（我希望我可以在这里像在其他一些 StackExchange 站点中一样使用 MathJax！）

请注意，第二个版本的解决方案是Lambert W 函数在b = exp(W(a))哪里。许多编程语言都有实现 Lambert W 函数的包。例如，在 Python 中，通用包调用它。W()scipylambertw()

lambertw因此，在从 scipy 模块导入函数并从数学模块导入函数exp和log（相当于 ln）之后，Python 中的完整解决方案是

b = (a / log(11) if a <= 11 * log(11)
        else exp(lambertw(a)))

这比重新发明轮子更容易。请注意，scipy 的lambertw函数使用连分数来获得近似值，然后使用一到两轮 Newton-Raphson 方法来获得最终结果。这比仅使用 Newton-Raphson 更快。