turing-machines - Given the encoding of a specific Turing machine, can it be decided if it will halt on a specific input?

Question

Say I have the Universal Turing Machine encoding of a specific Turing machine T. Also say I have the encoding of a specific input s. Is the question of whether T halts on s decidable? Can simulating running T on s be used to reach an answer?

Answer 1

这个问题在所有情况下都是可判定的。任何特定的、固定的 TM 要么在任何特定的、固定的输入上停止或不停止，假设目前排除的中间不是你想在这里挑战的东西。对于您要修复TM 和输入的问题的特定实例，TM 应该停止接受所有输入（不是用于参数化问题的特定固定输入，而是 TM 的典型输入，它将解决我们的参数化问题）如果该特定实例如果问题在提供的输入上有一个 TM 停止，或者如果该特定实例应该halt-reject有一个无法停止的 TM。

困难在于，对于问题的任何特定实例，我们知道特定的 TM要么停止，要么没有给出特定的输入，但我们没有任何计算有效的方法来知道是哪种情况。当然其中一个是（同样，您是否接受排中是一个更大的讨论），因此问题的具体实例是可确定的 - 常规的，甚至 - 但这对我们没有太大帮助，除了理解可计算性好一点。

请注意，有很多这个问题的实例，我们可以知道这两种情况中的哪一种。例如，生成TM在任何或所有输入上停止或未能停止的 s 并不难。这些问题的实例不仅是可判定的和常规的，而且我们知道它们是哪些可判定/常规的语言。