image-processing - 为什么空间域的卷积等于频域的乘法？

Question

为什么说“空间域的图像卷积等于频域的乘法”？谁能简要解释一下？

Answer 1

不幸的是，StackOverflow 不支持 MathJaX，因此很难在这里展示数学。

一种解释方法是卷积是线性不变算子。
如您所知，线性时间/空间不变系统基本上只做一件事——延迟和缩放。

延迟和缩放的特征函数是谐波函数。
这意味着给出由谐波信号（实际上是其傅立叶变换）描述的信号线性时间/空间不变算子仅按复数（按相位缩放和移位）对其进行缩放，这就是您在傅立叶域中所做的。

它类似于线性代数中的对角化。
例如，让我们作为运算符应用在图像上的过滤器 - A。
所以系统的输出为y = A x。
IfA是可对角化的，A = P^T D P其中D是对角矩阵和P P^T = I，即酉矩阵。
因此y = A x = P^T D P x，通过定义z = P x，t = P y我们得到t = D z即我们只需要将每个元素相乘，t而不是整个矩阵相乘。

如果您将P其视为傅立叶横梁运算符，那么您可以在其他域（傅立叶域）中进行元素乘法运算，而不是进行矩阵乘法。