image-processing - 在频域应用抛物线滤波器

Question

应用此滤镜会对初始图像产生什么影响：

在频域？

我如何在不使用计算机（在纸上）的情况下确定效果？

该滤波器 (H) 已经在频域中。

Answer 1

我假设u_max和v_max是常数参数，并且不使用计算机意味着不仅要以数字方式计算效果，而且更喜欢解析解。

傅里叶空间中的滤波/乘法对应于具有傅里叶变换滤波器函数的实空间中的卷积。为了知道卷积核，即确定效果，H如果给定滤波器存在，则需要对其进行傅里叶逆变换。

Mathematica 解决了

InverseFourierTransform[1+(u/umax)^2+(v/vmax)^2,{u,v},{x,y}]

至

2 \[Pi] DiracDelta[x] DiracDelta[y]-(2 \[Pi] DiracDelta[y] (DiracDelta^\[Prime]\[Prime])[x])/umax^2-(2 \[Pi] DiracDelta[x] (DiracDelta^\[Prime]\[Prime])[y])/vmax^2

即 x 和 y 的 Dirac delta 函数以及 Dirac delta 函数的二阶导数的卷积表达式。

我很难想象它的确切形状。一个问题是您的滤波器 H 的积分是无界的，因此无论如何我们都会遇到归一化（或存在傅立叶变换）的问题，但是（使用计算机）可视化结果，我发现卷积核对于x 或 y 不为零，在 x=y=0 处最大，沿 x 轴和 y 轴急剧下降，并且相对于 x 轴和 y 轴对称。

所以，总而言之，这是一个非常奇怪的过滤器，它沿着轴平滑了一点点。我本来也希望像Amitay在他的回答中那样锐化，所以这有点令人惊讶。

Answer 2

您可以尝试查看不同值的结果。

您可以注意到的第一件事是因为滤波器函数中有一个 1，滤波器仅放大而不唤醒频率。

其次，如果我们看一下其他两个术语：我们将每个空间频率放大为每个方向上最大频率的函数。因此，对于小频率，放大将是最小的，因为 (smallFreq/largeFreq) < 1，并且对此项进行平方只会使该值更小。

对于大频率，放大将更大。对于 uMax 和 vMax，放大可以是原始值的 3 倍。

如果您想知道在不返回空间域的情况下会对原始图像产生什么影响，您可以说高频区域（图像中的边缘）将具有非常高的值，而低频区域（具有一个或多或少的常数值）将保持不变。

总之，您的过滤器看起来像是一个锐化过滤器。