2

下面的问题是在比赛中（现在已经结束）比赛链接。

它似乎是经典硬币面额问题的变体 - 给定一个具有硬币值和数字 n 的数组（k 个元素）。我们需要回答可以计算 n 面额的方法的数量。我们可以解决它，DP这需要O(n*k)时间。现在在比赛问题中，不是给出硬币值数组，而是有一个值 m，并且硬币值都是 m ex 的所有可能幂。n= 200, m=3.所以我们有硬币价值[3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4]，更高的权力对这个例子没有用]。

我DP在这里使用了方法，但它的给予TLE。通过查看时间限制testcases<=10000, n<=10000, m<=10000，我假设我们必须在给定n,m的O(n)时间内解决它[可能还需要优化这个。请帮我解决这个问题。我的解决方案使用DP.

#include <bits/stdc++.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;

int solve(vector<int>&vec, int n){
    cout<<"n= "<<n<<": m= "<<vec.size()<<endl;
    int r=n+1, c=vec.size()+1;
    vector<int>row(c,0);
    vector<vector<int> >dp(r, row);
    for(int i=0;i<c;i++)
        dp[0][i]=1;
    for(int i=1;i<r;i++){
        for(int j=1;j<c;j++){
            int a=0;
            if(i-vec[j-1]>=0)
                a=dp[i-vec[j-1]][j];
            dp[i][j]=a+dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[n][c-1];
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int tc,n,m;
    cin>>tc;
    while(tc--){
        cin>>n>>m;
        vector<int>temp;
        int index=0;
        temp.push_back(1);
        while(temp[index]*m<=n){
            temp.push_back(temp[index]*m);
            index++;
        }
        int result=solve(temp,n);
        cout<<result<<endl;
    }
    return 0;
}
4

1 回答 1

0

“硬币变化”和类似的分区问题通常从记忆中受益匪浅。我没有发现任何基于 m 次幂的硬币值的巧妙数学技巧可以击败具有记忆化功能的简单递归算法。
（在这个对相关问题的回答中，我更详细地说明了记忆对分区算法的影响）

下面的 Javascript 代码示例解决了我的 i5 桌面上n,m = 200,30.026 毫秒和最坏情况下 2.8 毫秒的示例；n,m = 10000,2我不知道比赛的时间限制是多少，但是10000个随机案例大约需要3秒。C++ 实现当然会快得多。

function coinPowers(n, m) {
    if (n < 1 || m < 1) return 0;
    if (n < m || m == 1) return 1;
    var power = Math.floor(Math.log(n) / Math.log(m));
    var memo = [];
    for (var i = 0; i < n; i++) memo[i] = [];
    return partition(n, m, power);

    function partition(n, m, power) {
        var count = memo[n - 1][power];
        if (count) return count;
        var coin = Math.pow(m, power), count = 1;
        for (var p = power; p > 0; coin /= m, p--) {
            if (coin < n) count += partition(n - coin, m, p)
            else if (coin == n) ++count;
        }
        return (memo[n - 1][power] = count);
    }
}

document.write(coinPowers(200, 3) + "<BR>");
document.write(coinPowers(200, 2) + "<BR>");
document.write(coinPowers(10000, 2) + "<BR>");

于 2015-11-11T02:52:12.547 回答