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我只想知道并理解为什么信号x1的幅度最高，而信号的幅度x2最低，如下图所示？

当我运行代码时，我希望看到x1最低幅度、x2中等幅度和x3最高幅度，因为如下面的等式所示，x1乘以 10x2等于x1再加上另一个幅度 10，依此类推。

请澄清这些观点。

在此处输入图像描述

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2 回答 2

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该信号x3包含三个具有相同幅度但不同频率的余弦。因此，理想情况下，频谱应该包含三个幅度相同的狄拉克脉冲。只有当我们对信号进行无限长的观察时，才会出现这种情况。我们有由多个L=8000样本组成的“窗口”信号。您“切掉”了 8000 个样本，这就像将信号与矩形信号相乘一样。一个矩形的频谱是一个 sinc 脉冲，由一个主瓣和几个较小的旁瓣组成。

因此，您将获得的频谱将x3是 3 个狄拉克与 sinc 脉冲的卷积。这正是绘制 DTFT 时得到的结果：

在此处输入图像描述

DFT 是 DTFT 的采样版本。kDFT频率在此处输入图像描述定义为

在此处输入图像描述

其中N是 DFT 的长度。这就是您的问题所在：您使用N=8192和计算 DFT fs=8000。因此，您不会达到准确的频率f1, f2, f3。最接近“真实”峰值的点将是

f1 = 2.9297 Hz
f2 = 19.5313 Hz
f3 = 49.8047 Hz

因此，您在 DFT 中看到的峰值小于应有的值。

在此处输入图像描述

您还可以看到，实际频率与测量频率之间的最大差异（位于 处f2）导致 DFT 中的最小峰值。频率的舍入误差仍然小于在此处输入图像描述，即随着 DFT 长度的增加而减小。

长话短说：对于周期性信号，您可以调整 DFT 长度以确保 DFT 达到实际频率（正如@gg349 在他的回答中建议的那样）。一般来说，可以让 DFT 长度N更长，以获得更小的舍入误差并更接近 DTFT。为了获得更好的 DTFT 从而提高频率分辨率，您必须增加数据长度L。

于 2014-12-29T14:58:19.043 回答
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x1,x2,x3在 3 个不同的频率上分别有 1,2 和 3 个谐波，并且所有的谐波都具有10幅度。当您在频域中研究这些信号时，您期望x1,x2,x3分别呈现 1,2 和 3 个峰值，并且所有峰值都具有相同的幅度。所以x1有 1 个峰值3Hz（假设我们在这里谈论时间），并且x3有 3 个峰值，在频率3,20,50Hz。

尽管我刚才说过，如果您在不选择特定观察窗口的情况下绘制傅立叶变换的绝对值，您会发现例如x33 个频率处的 3 个峰值的高度不同。这可以在您的右上角的图中看到x3，也可以在@hbaderts 的回答中看到，这并没有真正解决您的问题。发生这种情况是因为您的时间向量t不是信号周期的倍数，这会导致您获得一个非周期性的信号x3（或x1,x2就此而言）（或至少不是您认为的周期性） ，并且您不能再期望上述内容受到尊重，因为更多的频率分量会涂抹这张图片。

由于您正在生成信号而不是从传感器加载它，因此您可以更改观察窗口t，以便信号在该窗口中是周期性的。在这种情况下，所需的观察窗口是1第二个（因此每个周期t1,t2,t3都包含在1s整数次中）。t=0然后，您可以在和之间选择多个等距点t=1，不包括最后一个点，即在 范围内[0,1)。

唯一要讨论的是采样频率，它必须高于信号最高频率的两倍。在这种情况下，最高频率。是fmax = 50，因此我们需要在上面进行采样fs=100Hz以解决所有谐波。0我们还需要采样频率是自然数，或者和之间的离散点1不会是等距的，信号也不会是周期性的。

以下是python中的示例，留给您在Matlab中进行调整：

from numpy import arange, cos
from numpy.fft import rfft, rfftfreq
import matplotlib.pyplot as plt

f1, f2, f3 = 3., 20., 50.  # in Hz
T1, T2, T3 = 1 / f1, 1 / f2, 1 / f3
T_all = 1
# From Shanon theoreom we must use a sampling freq. larger than this:
f_sample = 2 * max([f1, f2, f3])
# we also need to use an integer sampling frequency, or the
# points will not be equispaced between 0 and 1. We then add +1 to f_sample:
dt = 1 / (f_sample + 1)
t = arange(0, T_all, dt)
# another way of generating the points, without fixing the sampling frequency
# follows. In this case one must check that 1 / dt > f_sample afterwards
# t, dt = linspace(0, T_all, 2000, endpoint=False, retstep=True)
x3 = 1 * cos(2 * pi * f1 * t) + 2 * cos(2 * pi * f2 * t) + 3 * cos(2 * pi * f3 * t)

y = rfft(x3)
freqs = rfftfreq(t.size, d=dt)  # in Hz

fig, ax = plt.subplots() # we plot the abs. value of the fft:
# the factor 2/t.size is the normalizing factor between peaks
# of the DFT and original amplitudes in time domain.
ax.plot(freqs, 2 * abs(y) / t.size, 'o')
ax.set_ylim(0, 3.5)
ax.set_xlabel('f  [Hz]')
ax.grid()
fig.show()

我们发现离散 DFT 实际上仅在指定频率处显示非零值。通过适当地重新调整结果，我们还恢复了谐波的精确幅度，在本例中选择为1,2,3。 在此处输入图像描述 作为参考，我以上面代码中的最小采样率（即f_sample+1Hz）报告原始时间信号。此外，采样频率必须大于 1)f_sample以避免欠采样，并尊重香农定理；2) 一个整数，在 和 之间具有均匀分布的离散样本0s，1s即为了具有周期信号。

注意 t=1 的最后一点是如何丢失的： 在此处输入图像描述

于 2014-12-29T17:34:19.240 回答