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我想计算日志（ exp(A1) + exp(A2) ）。
下面的公式

 log(exp(A1) + exp(A2) ) = log[exp(A1)(1 + exp(A2)/exp(A1))] = A1 + log(1+exp(A2-A1))

当 A1 和 A2 很大并且数值为 exp(A1)=Inf（或 exp(A2)=Inf）时很有用。（这个公式在这个线程中讨论 -> 如何从其组件 log-terms 计算 log(sum of terms)）。当 A1 和 A2 的角色被替换时，公式为真。

我对这个公式的关注是当 A1 和 A2 非常小时。例如，当 A1 和 A2 是：

 A1 <- -40000
 A2 <- -45000

那么 log(exp(A1) + exp(A2) ) 的直接计算是：

 log(exp(A1) + exp(A2))
 [1] -Inf

使用上面的公式给出：

 A1 + log(1 + exp(A2-A1))
 [1] -40000

这是A1的值。将上面的公式与 A1 和 A2 的翻转角色一起给出：

A2 + log(1 + exp(A1-A2))
[1] Inf

这三个值中哪个最接近 log(exp(A1) + exp(A2)) 的真实值？是否有稳健的方法来计算 log(exp(A1) + exp(A2)) 可以在 A1、A2 较小且 A1、A2 较大时使用。

先感谢您

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您应该使用更准确的东西来进行直接计算。

它“在 [它们] 很大时没有用”。当差异非常负时，它很有用。

当x接近 0 时，则log(1+x)大约为x。因此，如果A1>A2，我们可以采用您的第一个公式：

log(exp(A1) + exp(A2)) = A1 + log(1+exp(A2-A1))

并将其近似为A1 + exp(A2-A1)（并且近似值会变得更好，因为A2-A1它更负）。由于A2-A1=-5000，这足以使近似值足够负。

无论如何，如果y离零太远（无论哪种方式）exp(y)都会（溢出|低于）双精度并导致 0 或无穷大（这是双精度，对吧？你使用什么语言？）。这解释了你的答案。但由于exp(A2-A1)=exp(-5000)接近于 0，你的答案大约是-40000+exp(-5000)，这与 没有区别-40000，所以一个是正确的。

于 2014-10-18T05:06:40.487 回答
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在如此巨大的指数差异中，您可以在没有任意精度的情况下做的最安全的是

  • 选择了最大的指数让它成为Am = max(A1,A2)
  • 所以：log(exp(A1)+exp(A2)) -> log(exp(Am)) = Am
  • 这是您在这种情况下可以获得的最接近的
  • 所以在你的例子中，结果是-40000+delta
  • 其中 delta 非常小

如果您想使用第二个公式，那么一切都分解为计算log(1+exp(A))

  • 如果A为正，则结果与真实情况相去甚远
  • 如果A是负数，那么它将被截断，log(1)=0所以你得到与上面相同的结果

[笔记]

  • 你的指数差是base^500
  • 单精度 32 位浮点数最多可存储数字(+/-)2^(+/-128)
  • 双精度 64 位浮点数最多可存储数字(+/-)2^(+/-1024)
  • 因此，当您的基数为 10 或 e 时，这远远不够您所需要的
  • 如果你有四倍的精度应该足够了，但是当你再次开始改变 exp 差异时，你将很快达到与现在相同的点

[PS] 如果您需要更高的精度而不需要任意精度

  • 你可以尝试创建自己的号码类
  • 内部存储数字，例如number=a^b
  • 其中 a,b 是浮点数
  • 但为此，您需要编写所有基本功能
  • *,/简单
  • +,-是一场噩梦，但即使为此也可能有一些方法/算法
于 2014-10-18T05:18:06.860 回答