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我有一个类型的方程，c = Ax + By其中和是尺寸为 50,000 X 1 的向量，c并且是尺寸为 50,000 X 50,000 的矩阵。xyAB

Matlab 中是否有任何方法可以找到矩阵A以及B何时c和是已知的x？y

我有大约 100,000 个c、x和的样本y。A并B保持不变。

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让X成为你得到的所有 100,000 s 的集合x（使得i-th 列X等于x_i-th 向量）。
以同样的方式，我们可以分别将 和 定义Y为s 和s 的C2D 集合。yc

你想解决的是A这样B的

C = AX + BY

您有 2 * 50,000^2 个未知数（和 的所有条目A）B和numel(C)方程。

因此，如果您拥有的数据向量数量为 100,000，则您只有一个解决方案（最多线性相关样本）。如果您有超过 100,000 个样本，您可能会寻求最小二乘解决方案。

重写：

C = [A B] * [X ; Y]  ==>  [X' Y'] * [A';B'] = C'

所以，我想

[A' ; B'] = pinv( [X' Y'] ) * C'

在matlab中：

ABt = pinv( [X' Y'] ) * C';
A = ABt(1:50000,:)';
B = ABt(50001:end,:)';

如我错了请纠正我...

编辑：
这里似乎对维度大惊小怪。所以，我会尽量把它说清楚。

模型：有两个（未知）矩阵A和B，每个大小为 50,000x50,000（总共 5e9 个未知数）。
观察是向量的三元组： ( x, y, ) 每个这样的向量有 50,000 个元素（每个样本c总共有 150,000 个观察点）。基本模型假设是在此模型中生成观察值。任务：给定观察值（即向量{ ( , , ) }_的三元组），任务是发现和。c = Ax + By
nnx_iy_ic_ii=1..nAB

现在，每个样本 ( x_i, y_i, c_i) 导出 50,000 个形式c_i = Ax_i + By_i为未知A和的方程B。如果样本n数大于100,000，则有超过 50,000 * 100,000 (> 5e9) 个方程，系统过度约束。

为了以矩阵形式编写系统，我建议将所有观察结果堆叠成矩阵：

  • X一个大小为 50,000 x的矩阵，n其i第 - 列等于观察到的x_i
  • Y一个大小为 50,000 x的矩阵，n其i第 - 列等于观察到的y_i
  • C一个大小为 50,000 x的矩阵，n其i第 - 列等于观察到的c_i

使用这些矩阵，我们可以将模型写为：

C = A*X + B*Y

我希望这能澄清一点。

感谢@Dan 和@woodchips 的关注和启发性的评论。

编辑（2）：
将以下代码提交给octave。在这个例子中，我只使用 2 个维度而不是 50,000 个维度，而不是n=100,000我解决的观察n=100：

n = 100;
A = rand(2,2);
B = rand(2,2);
X = rand(2,n);
Y = rand(2,n);
C = A*X + B*Y + .001*randn(size(X)); % adding noise to observations 
ABt = pinv( [ X' Y'] ) * C';

A检查地面实况模型（和B）与恢复模型之间的差异ABt：

ABt - [A' ; B']

产量

  ans =

   5.8457e-05   3.0483e-04
   1.1023e-04   6.1842e-05
  -1.2277e-04  -3.2866e-04
  -3.1930e-05  -5.2149e-05

这足够接近于零。（请记住，观察结果很嘈杂，解决方案是最小二乘解决方案）。

于 2013-01-24T13:34:36.240 回答